Les conditions sont les mêmes que pour le correcteur à base de perceptron. Nous avons utilisé la même base d'apprentissage : système OFDM à 4 porteuses avec une modulation MAQ16, une non-linéarité de type SSPA avec le paramètre p=2 et aucun bruit sur le canal. Dans un premier temps une base d'apprentissage de 256 symboles OFDM a été utilisée. La figure 3.19 montre l'évolution de la performance du RPN sur les bases d'apprentissage et de validation. L'algorithme d'optimisation est ici une descente de gradient adaptative, avec 200 itérations sur chaque ordre. On remarque une augmentation très élevée de l'erreur quadratique moyenne toutes les 200 itérations, ceci correspond à l'ajout au RPN d'un nouveau réseau pi-sigma, avec des poids initialisés aléatoirement. L'apprentissage d'un réseau RPN s'effectue en effet en plusieurs étapes successives, comme ceci était présenté dans le paragraphe 4.5.

L'apprentissage a ici été stoppé à l'ordre 4. La courbe montre de manière évidente qu'il y a un surapprentissage, puisque l'erreur quadratique moyenne sur la base d'apprentissage diminue très rapidement, tandis que celle sur la base de validation augmente. Pour résoudre ce problème, une première méthode est de réduire la complexité du réseau. Cependant dans un réseau RPN ceci n'est pas possible, son architecture étant fixe. Le nombre de poids dépend simplement du nombre d'entrées et de sorties, ainsi que de l'ordre. La méthode qui a été plutôt choisie ici consiste à augmenter la taille de la base afin de permettre une meilleure généralisation du réseau. Nous l'avons augmentée progressivement, jusqu'à obtenir des résultats satisfaisants avec 16384 éléments :

Cet apprentissage a demandé 1 heure et 50 minutes sur une station Sun Ultra 10 avec l'algorithme de descente de gradient. Pour l'accélérer nous avons utilisé l'algorithme de Levenberg Marquardt, qui peut converger en moins d'itérations, mais avec plus de calcul sur chaque itération. Sur la même base, nous avons pu réduire le nombre d'itérations à 20 par ordre. L'apprentissage a duré 14 minutes sur la même station Sun et la courbe est montrée figure 3.21 :

L'apprentissage a été arrêté à l'ordre 7 car pour des ordres supérieurs on ne constate plus de diminution de l'erreur quadratique moyenne. On constate bien sur cette courbe que le modèle réalisé par le réseau RPN est affiné à chaque fois que l'on ajoute un réseau pi-sigma. Le réseau est ensuite simulé dans la chaîne OFDM afin de mesurer le taux d'erreur binaire en sortie :

La courbe 'rpn' correspond à celle obtenue avec le correcteur RPN, et la courbe 'ref' est celle de référence, sans correcteur, mais toujours avec la non-linéarité. Le correcteur avec le réseau RPN n'est efficace qu'au dessus d'un certain rapport signal sur bruit (16 dB environ). Nous avions évoqué dans la section 2.2 qu'il était possible qu'il soit nécessaire d'ajouter du bruit lors de l'apprentissage pour augmenter l'immunité au bruit du réseau de neurones en utilisation après son apprentissage, c'est ce que nous allons illustrer maintenant.

Nous avons donc réalisé plusieurs apprentissages avec des rapports signal sur bruit différents, puis simulé tous les réseaux afin d'extraire le taux d'erreur binaire obtenu dans le système OFDM. Tous les autres paramètres sont identiques à ceux du dernier réseau RPN : 4 porteuses, modulation MAQ16, un amplificateur non linéaire SSPA avec le paramètre p=2, réseau RPN d'ordre 7, algorithme de Levenberg Marquardt, et 16384 exemples dans la base. Les courbes d'apprentissage des réseaux sont très similaires à celles de la figure 3.21, sauf l'erreur quadratique moyenne qui est plus élevée, à cause du bruit sur la base. La courbe figure 3.23 montre les taux d'erreur binaire avec tous ces réseaux :

La courbe 'ref' est toujours la référence, et pour toutes les autres courbes, le rapport signal sur bruit qui a été ajouté à la base d'apprentissage est indiqué. On remarque que ce bruit ajouté à la base d'apprentissage joue un très grand rôle dans les performances du correcteur. Pour un rapport trop faible, comme 4 dB, le niveau de bruit est tellement élevé que l'algorithme d'optimisation ne permet pas de trouver un réseau de neurones avec de bonnes performances. En diminuant la puissance du bruit, on améliore les performances du correcteur, et le taux d'erreur binaire est bien réduit. On remarque que le réseau ayant appris avec a les meilleurs performances quand il est simulé avec un canal présentant un inférieur à 21 dB. Mais ensuite, un réseau ayant appris avec moins de bruit (un taux de 20 dB) a de meilleures performances. L'interprétation de ces résultats étant difficile, une autre courbe a été tracée figure 3.24 dans le but de trouver le meilleur rapport signal sur bruit à utiliser pour créer la base d'apprentissage. En ordonnée nous avons toujours le taux d'erreur binaire, et en abscisse cette fois il s'agit du rapport de la base d'apprentissage. Les courbes sont tracées à de en phase d'exploitation fixe.

On remarque que quel que soit le rapport signal sur bruit en simulation, ce sont les bases avec un rapport signal sur bruit situé entre environ 10 et 20 dB qui permettent d'obtenir les meilleures performances. Pour un en exploitation de 10 dB, le minimum de la courbe d'erreur correspond à une base d'apprentissage avec un de 10 dB, et lorsque l'on augmente le rapport signal sur bruit en exploitation, ce minimum augmente également jusqu'à atteindre 15 dB pour un en exploitation de 20 dB. Nous avons choisi pour la base d'apprentissage, ce qui permet d'obtenir un taux d'erreur binaire faible dans la plupart des cas simulés et représente un bon compromis. C'est donc ce taux qui sert de référence et qui sera toujours utilisé dans la constitution de bases d'apprentissage pour ce correcteur RPN.

La figure 3.25 présente donc les résultats avec le réseau RPN et la base d'apprentissage choisis. Pour un taux d'erreur binaire de on mesure un gain apporté par le correcteur d'environ 1,5 dB. Pour un taux d'erreur binaire de , ce gain est d'environ 4 dB. Pour un rapport de 20 dB le taux d'erreur binaire est divisé par 19 grâce au réseau de neurones. Ces résultats ont été publiés dans [TERT02] et [TERT03].

Un des avantages des réseaux de neurones est leur capacité à s'adapter à différents problèmes. Nous avons donc entraîné puis simulé le même réseau RPN dans un système OFDM avec une non-linéarité différente. Dans un premier temps nous avons pris un amplificateur de type SSPA avec le paramètre p=3 (ce modèle sera noté SSPA3 dans le reste de ce mémoire), et comme on peut le constater après apprentissage le correcteur parvient toujours à corriger les non-linéarités de manière significative :

La courbe est comparable à celle obtenue avec le modèle SSPA prenant p=2 (figure 3.25), nous constatons les mêmes gains de 1,5 dB et 4 dB pour les taux d'erreur binaire respectifs de et . Pour un rapport de 20 dB le taux d'erreur binaire est divisé par 24 avec le correcteur. Enfin nous avons pris un limiteur, et dans ce cas également le correcteur est efficace :

La courbe de référence (sans correcteur mais avec le limiteur) est appelée 'ref limiteur', et celle obtenue avec le correcteur RPN est appelée 'rpn limiteur'. Le gain apporté par le réseau de neurones est de presque 5 dB pour un taux d'erreur binaire de et de plus de 10 dB pour un taux d'erreur binaire de . Pour un rapport de 20 dB le taux d'erreur binaire est divisé par 7 avec le correcteur. Ainsi avec un nouvel apprentissage, le correcteur à RPN est capable de s'adapter à des non-linéarités différentes. En pratique ceci peut être intéressant dans une application mobile, dans laquelle le récepteur peut se déplacer, et nécessiter une connexion avec un nouvel émetteur lors d'un changement de zone. Si le nouvel émetteur possède un amplificateur différent de l'ancien, il suffira au récepteur d'effectuer un nouvel apprentissage pour s'adapter, à condition que le temps et la puissance de calcul requis par cette apprentissage soient compatibles avec l'application voulue.

Les gains apportés par le correcteur à taux d'erreur binaire fixé semblent indiquer que le réseau est beaucoup plus efficace dans le cas du limiteur que les autres cas, ce qui n'est pas forcément évident en regardant les courbes. Dans la figure 3.27 nous avons ajouté les résultats présentés figure 3.25 dans le cas d'une non linéarité de type SSPA avec p=2 (courbes 'ref sspa' et 'rpn sspa'). On peut remarquer que dans le cas du limiteur la courbe du système sans correction présente une sorte de plateau à un taux d'erreur binaire plus élevé que dans celui de l'amplificateur SSPA, ce qui augmente les gains mesurés à taux d'erreur binaire fixe. Ainsi pour comparer les performances du correcteur basé sur un réseau de neurones dans des systèmes OFDM ayant des caractéristiques différentes, la mesure du gain en taux d'erreur binaire à rapport signal sur bruit fixe est plus fiable. Les mesures présentées ont été faites à un rapport de 20 dB, et le taux d'erreur binaire a été divisé par 7 dans le cas du limiteur et 19 dans le cas de l'amplificateur SSPA avec p=2, ce qui est plus conforme à ce que l'on constate graphiquement.

Après avoir obtenu des gains significatifs avec le réseau RPN sur un système à 4 porteuses dans les conditions évoquées précédemment, nous avons fait des essais avec 8 et 16 porteuses. Considérons tout d'abord le cas avec 8 porteuses : nous avons construit une base d'apprentissage de 32768 symboles OFDM, avec un rapport signal sur bruit de 13 dB et entraîné le un RPN par un algorithme de Levenberg-Marquardt. La figure 3.28 montre les évolutions des erreurs d'apprentissage et de validation au fur et à mesure des itérations :

Comme pour l'apprentissage avec 4 porteuses (figure 3.21), l'erreur quadratique moyenne ne diminue pas lorsque l'on ajoute des réseaux pi-sigma d'ordre supérieur à 7, et nous nous sommes donc arrêtés à cet ordre. Le réseau RPN ainsi entraîné est ensuite simulé dans un système OFDM :

On constate un gain de 5 dB pour un taux d'erreur binaire de , mais les deux courbes sont tout de même plus proches que lorsqu'il n'y avait que 4 porteuses, comme on peut le voir sur la figure 3.30 qui présente les deux résultats montré figures 3.25 et 3.29. A titre de comparaison la courbe théorique sans non-linéarités est également présente.

Pour un rapport de 20 dB le taux d'erreur binaire est divisé par 3 seulement, ce qui est effectivement bien moins que le rapport 19 mesuré dans le système avec 4 porteuses. Pour le système avec 16 porteuses nous avons à nouveau doublé la taille de la base, portée donc à 65536 éléments. L'apprentissage du réseau est plus difficile :

On constate en effet que l'erreur quadratique moyenne sur la base d'apprentissage ne diminue pas lors de chaque ajout d'un réseau pi-sigma, et celle de validation augmente même à partir de l'ordre 4. Les algorithmes d'apprentissage (descente de gradient et Levenberg-Marquardt) ne parviennent pas à affiner le modèle et la performance à la fin de l'apprentissage reste la même que celle obtenue avec un réseau pi-sigma d'ordre 1, c'est à dire d'un système linéaire. On peut donc supposer que le correcteur ainsi obtenu ne pourra pas diminuer le taux d'erreur binaire par rapport à un système classique. Ceci est confirmé par la simulation :

Le taux d'erreur est plus élevé avec le correcteur RPN (courbe 'rpn') que sans correcteur (courbe 'ref'). Nous avons utilisé diverses méthodes pour améliorer l'apprentissage : augmenter la taille de la base d'apprentissage, réduire le bruit sur la base, prendre une modulation plus simple (MAQ4) et revenir à une descente de gradient adaptative. Aucune de ces méthodes n'a permis d'améliorer les performances du correcteur. Comme pour les PMC, dans ce cas là l'algorithme d'apprentissage ne permet pas de converger vers un réseau ayant les caractéristiques recherchées. Nous constatons le même problème lorsque le nombre de porteuses est supérieur à 16, des tests ayant également été réalisés avec 32 et 48 porteuses.

Plusieurs voies de recherches peuvent être explorées pour tenter de résoudre le problème. Un travail sur l'algorithme d'apprentissage lui-même, avec par exemple une meilleure utilisation des symétries, ou une optimisation de la constitution de la base. Une autre voie qui pourrait être prometteuse est la famille de réseaux de neurones SVM (Support Vector Machines) [VAPN98]. Un réseau SVM peut avoir de bonnes performances dans un espace d'entrées à grand nombre de dimensions, et ne présente pas les problèmes d'apprentissage des PMC et autres réseaux d'ordre supérieur dus à la présence de minimums locaux. Le principe d'un réseau SVM est de s'appuyer sur quelques exemples de la base, les vecteurs de support, pour calculer la fonction de sortie. Un algorithme permet de sélectionner les exemples les plus significatifs, situés généralement à la frontière entre deux zones différentes de l'espace d'entrée. Ces deux axes n'ont pas été étudiés.

Une autre méthode qui peut être utilisée est de faire un traitement des données avant de les transmettre au réseau de neurones. C'est cette démarche qui a été suivie, en le plaçant dans le domaine temporel, comme nous le verrons dans le chapitre suivant.