RÉDUCTION DES EFFETS DES NON-LINÉARITÉS DANS UNE MODULATION MULTIPORTEUSE A L'AIDE DE RÉSEAUX DE NEURONES
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RÉDUCTION DES EFFETS DES NON-LINÉARITÉS DANS UNE MODULATION MULTIPORTEUSE A L'AIDE DE RÉSEAUX DE NEURONES

Table des matières

Remerciements

Introduction Générale

1. Modulations multiporteuses et non linéarités

Introduction

1. Transmission numérique

1.1. Codage canal
1.2. Codage binaire à symbole
1.3. Forme d'onde et filtre d'émission
1.4. Transposition de fréquence et amplification
1.5. Canal, réception et démodulation
1.6. Filtre de réception
1.7. Seuil de décision et décodage canal
1.8. Cas du canal sélectif en fréquence

2. Modulations multiporteuses

2.1. Principe
2.2. Porteuses orthogonales
2.3. Réalisation et égalisation
2.4. Intervalle de garde

3. OFDM et non-linéarités

3.1. Facteur de crête et éléments non linéaires
3.2. Harmoniques et intermodulations
3.3. Conséquences sur l'OFDM

4. La réduction des effets des non-linéarités en OFDM

4.1. Limitation de l'amplitude du signal OFDM temporel
4.2. Modification du codage
4.3. Modification des symboles OFDM
4.4. Prédistorsion
4.5. Correction à la réception

2. Réseaux de neurones et approximation de fonction

Introduction

1. Problème de l'approximation de fonction

1.1. Principe
1.2. Conditions
1.3. Mise en oeuvre
1.4. Quelques méthodes d'approximation de fonction

2. Les réseaux GRBF

2.1. Architecture
2.2. Répartition des prototypes
2.3. Apprentissage de la seconde couche
2.4. Méthode incrémentale
2.5. Discussion

3. Le perceptron multicouche

3.1. Architecture
3.2. Rétropropagation
3.3. Discussion

4. Réseaux d'ordre supérieur

4.1. Pourquoi utiliser l'ordre supérieur
4.2. Réseau SQUARE-MLP
4.3. HPU
4.4. Pi-Sigma
4.5. RPN
4.6. Discussion

3. Compensation des non-linéarités dans le domaine fréquentiel

Introduction

1. Principe de la méthode fréquentielle

1.1. Rôle et emplacement du réseau de neurones
1.2. Expression de la non-linéarité de l'amplificateur dans le domaine fréquentiel
1.3. Symétries de la non-linéarité dans le domaine fréquentiel

2. Mise en oeuvre et protocole expérimental

2.1. Simulation du système OFDM
2.2. Constitution d'une base et apprentissage du réseau de neurones
2.3. Résultats et interprétations

3. Performances d'un correcteur basé sur un PMC

3.1. Introduction
3.2. Architecture
3.3. Apprentissage et convergence
3.4. Simulations et résultats

4. Performances d'un correcteur basé sur un RPN

4.1. Apprentissage et résultats du réseau RPN sur une base sans bruit
4.2. Apprentissage et résultats du réseau RPN sur une base avec bruit
4.3. Autres non-linéarités
4.4. Augmentation du nombre de porteuses

4. Compensation des non-linéarités dans le domaine temporel

Introduction

1. Principe

2. Égalisation avec le modèle de l'amplificateur

2.1. Application directe du modèle inverse
2.2. Ajout d'une marge de saturation

3. Égalisation à l'aide d'un PMC

4. Égalisation à l'aide d'un RPN

4.1. Mise en oeuvre
4.2. Performances du correcteur
4.3. Rôle de la fonction d'activation
4.4. Autres non linéarités

5. Simplification du correcteur RPN

5. Mise en oeuvre et comparaison des différentes approches

Introduction

1. Mise en oeuvre

1.1. Performances sur un canal multitrajet
1.2. Implémentation et apprentissage

2. Comparaison des deux approches proposées

2.1. Performances
2.2. Puissance de calcul nécessaire
2.3. Bilan

3. Comparaison avec une autre approche

Conclusion et Perspectives

A. Quelques algorithmes d'optimisation

1. Descente de gradient
2. Algorithme de Levenberg Marquardt

Index des notations

Bibliographie

Liste des illustrations

1.1. Étapes d'une chaîne de transmission numérique
1.2. Exemples de constellations
1.3. Spectres de signaux avant et après transposition de fréquence
1.4. Schéma de réalisation d'un modulateur en quadrature
1.5. Schéma de réalisation d'un démodulateur en quadrature
1.6. Frontières des zones de décision sur les constellations MDP8 et MAQ16
1.7. Milieu de transmission avec deux obstacles
1.8. Interférences entre symboles (tmax >> TS)
1.9. Exemple de réponse fréquentielle d'un canal à deux trajets, avec la bande de cohérence
1.10. Filtre de réception et égaliseur
1.11. Dualité temps-fréquence des modulations
1.12. Porteuses espacées correctement pour une grande efficacité spectrale et une grande séparabilité
1.13. Superposition des spectres de 4 porteuses espacées de 1/TS
1.14. Réalisation possible d'un modulateur OFDM
1.15. Réalisation d'un émetteur OFDM avec une IDFT
1.16. Réponse fréquentielle du canal
1.17. Utilisation des transformées de Fourier discrètes dans un système OFDM
1.18. Réalisation d'un récepteur OFDM avec une DFT
1.19. Intervalle de garde
1.20. Signaux gaussien (haut) et uniforme (bas)
1.21. Caractéristique typique d'un amplificateur SSPA (échelle linéaire)
1.22. Point de compression à 1 dB
1.23. Caractéristique d'un limiteur
1.24. Harmoniques à la sortie d'un composant non linéaire
1.25. Harmoniques sur un signal en bande étroite
1.26. Intermodulations
1.27. Taux d'erreur binaire en fonction du recul et du rapport signal sur bruit
1.28. Impulsions gaussiennes pour limiter l'amplitude du signal
1.29. Exemples de décompositions PTS
1.30. Principe d'un modulateur PTS
1.31. Principe de la prédistorsion
1.32. Principe d'une postdistorsion OFDM
2.1. Schéma d'un neurone et d'un exemple de réseau
2.2. Schéma bloc représentant le phénomène physique à approximer
2.3. Approximation d'une sinusoïde avec un mauvais jeu de données
2.4. Détection d'une mauvaise approximation
2.5. Bases possibles d'apprentissage et de validation pour une sinusoïde
2.6. Surapprentissage avec une fonction sinusoïdale
2.7. Approximation localement constante d'une sinusoïde
2.8. Gaussiennes obtenues avec différents étalements (σ= 0,1 1 et 10)
2.9. Schéma général d'un réseau GRBF
2.10. Exemple de clustering réalisé par un k-means
2.11. Exemples de fonctions réalisées par un GRBF avec différents coefficients d'étalement
2.12. Tangente hyperbolique
2.13. Schéma d'un PMC
2.14. Notation des poids et des sorties des couches
2.15. Sortie d'un perceptron à une couche en deux dimensions
2.16. Sortie d'un perceptron à deux couches en deux dimensions
2.17. Principe de la rétropropagation
2.18. Principe du réseau Square-MLP
2.19. Fonction réalisée par un réseau Square-MLP simple (2 entrées, une couche cachée de 2 neurones, une sortie)
2.20. Mise en oeuvre d'un réseau HPU
2.21. Architecture d'un réseau Pi-Sigma
2.22. Architecture d'un réseau RPN
3.1. Ordre des différentes compensations dans une chaîne de transmission non linéaire
3.2. Schéma d'un récepteur OFDM avec réseau de neurones pour la compensation des non-linéarités
3.3. Modèle utilisé pour le calcul de l'expression de la non-linéarité dans le domaine fréquentiel
3.4. Schéma du récepteur OFDM avec un réseau de neurones complet
3.5. Emploi d'un réseau à une sortie pour calculer tous les symboles par décalage
3.6. Réponse du modèle SSPA pour différentes valeurs de p
3.7. Modulation MAQ4 avec un RSB de 20 dB et sigmoïde idéale associée
3.8. Sigmoïde décalée dans les mêmes conditions que la figure précédente
3.9. Données avec un bruit de 3 dB avec la fonction sigmoïde obtenue figure précédente
3.10. Exemple de fonction d'activation adaptée à une modulation MAQ16, avec un rapport signal sur bruit de 20 dB
3.11. Exemple de résultat de correcteur
3.12. Apprentissage d'un perceptron-10 dans un système OFDM à 4 porteuses avec un amplificateur SSPA, une modulation MAQ16, un recul de 0 dB et avec une base de 512 éléments
3.13. Apprentissage d'un perceptron 10-10 dans un système OFDM à 4 porteuses avec un amplificateur SSPA, une modulation MAQ16, un recul de 0 dB et avec une base de 512 éléments
3.14. Apprentissage d'un perceptron-30-25 dans un système OFDM à 4 porteuses avec un amplificateur SSPA, une modulation MAQ16, un recul de 0 dB, une base de 2048 éléments et un plus grand nombre d'itérations
3.15. Apprentissage adaptatif d'un perceptron-30-25 dans un système OFDM à 4 porteuses avec un amplificateur SSPA, une modulation MAQ16, un recul de 0 dB et une base de 2048 éléments
3.16. Apprentissage d'un perceptron-30-25 dans un système OFDM à 4 porteuses avec un amplificateur SSPA, une modulation MAQ16, un recul de 0 dB, une base de 2048 éléments et un algorithme de Levenberg Marquardt
3.17. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 4 porteuses avec une modulation MAQ16, un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et un correcteur à PMC (apprentissage sans bruit)
3.18. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 4 porteuses avec une modulation MAQ16, un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et un correcteur à PMC (apprentissage avec bruit : Eb/N0=13 dB).
3.19. Apprentissage d'un RPN dans un système OFDM à 4 porteuses avec un amplificateur SSPA, une modulation MAQ16, un recul de 0 dB et une base de 256 éléments sans bruit
3.20. Apprentissage d'un RPN dans un système OFDM à 4 porteuses avec un amplificateur SSPA, une modulation MAQ16, un recul de 0 dB et une base de 16384 éléments sans bruit
3.21. Apprentissage d'un RPN dans un système OFDM à 4 porteuses avec un amplificateur SSPA, une modulation MAQ16, un recul de 0 dB, une base de 16384 éléments sans bruit et un algorithme de Levenberg Marquardt
3.22. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 4 porteuses avec une modulation MAQ16, un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et correcteur RPN (apprentissage sans bruit)
3.23. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 4 porteuses avec une modulation MAQ16, un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et correcteur RPN (apprentissage avec bruit)
3.24. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 4 porteuses (recul de 0 dB, amplificateur SSPA, modulation MAQ16) avec correcteur RPN (simulation à Eb/N0 fixe sur chaque courbe, apprentissage avec différents Eb/N0)
3.25. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 4 porteuses avec une modulation MAQ16, un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et correcteur RPN (apprentissage avec Eb/N0=13 dB)
3.26. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 4 porteuses avec une modulation MAQ16, un amplificateur SSPA3, un recul de 0 dB et correcteur RPN, (apprentissage avec Eb/N0=13 dB)
3.27. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 4 porteuses avec correcteur RPN, limiteur avec un recul de 0 dB, modulation MAQ16, apprentissage avec Eb/N0=13 dB, et comparaison avec les résultats obtenus avec le modèle SSPA p=2
3.28. Apprentissage d'un RPN appliqué à un système OFDM à 4 porteuses avec un amplificateur SSPA, une modulation MAQ16, un recul de 0 dB et une base de 32768 éléments avec bruit (Eb/N0=13 dB)
3.29. Taux d'erreur binaire sur un système OFDM à 8 porteuses avec une modulation MAQ16, un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et correcteur RPN (apprentissage avec Eb/N0=13 dB)
3.30. Comparaison des résultats obtenus avec le correcteur RPN simulé dans des systèmes OFDM à 4 et 8 porteuses, avec un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et une modulation MAQ16
3.31. Apprentissage d'un RPN sur un système OFDM à 16 porteuses avec un amplificateur SSPA, une modulation MAQ16, un recul de 0 dB et une base de 65536 éléments avec bruit (Eb/N0=13 dB)
3.32. Taux d'erreur binaire avec le correcteur RPN appliqué à un système OFDM à 16 porteuses avec une modulation MAQ16, un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et correcteur RPN (apprentissage avec Eb/N0=13 dB)
4.1. Principe d'un égaliseur non linéaire réalisé entièrement par un perceptron multicouches
4.2. Principe d'un égaliseur non linéaire hybride combinant un PMC et un filtre de type DFE
4.3. Schéma d'un récepteur OFDM avec une compensation des non-linéarités dans le domaine temporel
4.4. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 4 porteuses, un recul de 0 dB, une modulation MAQ16 et correcteur SSPA inversé
4.5. Module d'un signal OFDM temporel à différents stades de la chaîne de transmission
4.6. Réponse en module du correcteur SSPA inversé
4.7. Taux d'erreur binaire dans une chaîne OFDM à 4 porteuses, modulation MAQ16, correcteur SSPA inversé, recul de 0 dB, en fonction de la marge de saturation
4.8. Taux d'erreur binaire dans une chaîne OFDM à 4 porteuses, modulation MAQ16, correcteur SSPA inversé avec marge de saturation de 0.125 dB et recul de 0 dB
4.9. Taux d'erreur binaire dans une chaîne OFDM à 48 porteuses, modulation MAQ16, correcteur SSPA inversé avec marge de saturation de 0.15 dB et recul de 0 dB
4.10. Taux d'erreur binaire d'une chaîne OFDM avec correcteur PMC temporel, 48 porteuses, une modulation MAQ16, et un amplificateur SSPA avec un recul de 0 dB
4.11. Courbe d'apprentissage du PMC-10-5
4.12. Comparaison entre le taux d'erreur binaire avec le correcteur PMC-10-5 et celui avec le correcteur SSPA inversé dans un système OFDM à 48 porteuses, un amplificateur SSPA avec un recul de 0 dB et une modulation MAQ16
4.13. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 48 porteuses (amplificateur SSPA, recul de 0 dB, modulation MAQ16) avec correcteur RPN temporel. Courbes à Eb/N0 fixe dans le canal, apprentissage avec différents Eb/N0
4.14. Apprentissage d'un réseau RPN pour une correction temporelle. Eb/N0 d'apprentissage de 20 dB, système OFDM à 48 porteuses avec un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et une modulation MAQ16
4.15. Comparaison entre le taux d'erreur binaire avec le correcteur RPN temporel et celui avec le correcteur SSPA inversé, dans un système OFDM à 48 porteuses avec un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et une modulation MAQ16
4.16. Réponses des correcteurs SSPA, RPN et PMC-10-5
4.17. Comparaison entre le taux d'erreur binaire avec le correcteur RPN à tangente hyperbolique et celui avec une fonction linéaire, dans un système OFDM à 48 porteuses avec un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et une modulation MAQ16
4.18. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 48 porteuses avec modèle d'amplificateur SSPA3, un recul de 0 dB, une modulation MAQ16 et un correcteur RPN temporel
4.19. Taux d'erreur binaire d'un système OFDM à 48 porteuses avec limiteur, un recul de 0 dB, une modulation MAQ16 et un correcteur RPN temporel
4.20. Réponse en module du correcteur RPN dans le cas d'un limiteur
4.21. Principe du correcteur simplifié
4.22. Taux d'erreur binaire avec le correcteur temporel simplifié, avec différentes tailles de la base d'apprentissage, dans un système OFDM à 48 porteuses et un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB et une modulation MAQ16
5.1. Module normalisé en puissance de la réponse impulsionnelle du canal multitrajets
5.2. Évolution de l'estimation du canal
5.3. Taux d'erreur binaire en fonction du rapport signal sur bruit. Système OFDM à 512 porteuses, amplificateur SSPA avec un recul de 0 dB, une modulation MAQ16 et un canal multitrajet
5.4. Taux d'erreur binaire en fonction du rapport signal sur bruit. Système OFDM à 512 porteuses, amplificateur SSPA avec un recul de 0 dB, une modulation MAQ16 et un canal de Gauss, et comparaison avec les courbes obtenues figure précédente
5.5. Taux d'erreur binaire en fonction du rapport signal sur bruit dans un système OFDM avec 4 porteuses, un amplificateur SSPA, un recul de 0 dB, une modulation MAQ16 et les correcteurs RPN fréquentiel et temporel
5.6. Complexité de calcul des différents correcteurs
5.7. Résultats obtenus avec une postdistorsion OFDM dans un système à 128 porteuses, un amplificateur SSPA3, un recul de -3 dB et une modulation MAQ4
5.8. Résultats obtenus avec le correcteur RPN temporel (système OFDM avec 128 porteuses, un amplificateur SSPA, un recul de -3 dB et une modulation MAQ4)
5.9. Résultats obtenus avec le correcteur RPN temporel et Eb/N0 après la nonlinéarité (système OFDM avec 128 porteuses, un amplificateur SSPA, un recul de -3 dB et une modulation MAQ4)
5.10. Nombre d'opérations nécessaire à l'exécution des différents algorithmes de postdistorsion en fonction du nombre de porteuses
5.11. Résultats obtenus avec le correcteur RPN temporel et Eb/N0 après la non-linéarité (système OFDM avec 128 porteuses, un amplificateur SSPA, un recul de -3 dB et une modulation MAQ16)
A.1. Illustration du principe de la descente de gradient, dans le cas d'une fonction à une variable

Liste des tableaux

5.1. Temps d'apprentissage des différents réseaux présentés

Liste des équations

1.1. Modulation d'amplitude à 2 états
1.2. Modulation d'amplitude à 4 états
1.3. Modulation de phase à m états
1.4. Modulation d'amplitude en quadrature à 16 états (MAQ16)
1.5. Interpolation avant modulation
1.6. Forme d'onde rectangulaire
1.7. Modulation d'amplitude d'un signal basse fréquence
1.8. Modulation d'amplitude en quadrature
1.9. Enveloppe complexe
1.10. Modulation d'amplitude de l'enveloppe complexe
1.11. Expression du signal modulé
1.12. Base de signaux élémentaires pour une modulation classique
1.13. Expression du signal modulé en utilisant la base de signaux élémentaires
1.14. démodulation d'amplitude
1.15. Démodulation d'amplitude en quadrature
1.16. Filtre de réception optimal
1.17. Annulation de l'interférence entre symboles
1.18. Spectre d'un signal modulé avec une forme d'onde rectangulaire
1.19. Base de signaux élémentaires pour une modulation OFDM
1.20. Signal modulé OFDM
1.21. Orthogonalité de la base OFDM
1.22. Décomposition d'un symbole OFDM
1.23. Transformée de Fourier inverse des symboles
1.24. Enveloppe complexe d'un symbole OFDM à partir de l'IDFT
1.25. Modulation OFDM construite par l'IDFT
1.26. Signal OFDM reçu
1.27. Symboles échantillonnés par le récepteur OFDM
1.28. Définition du PMEPR
1.29. Majoration du PMEPR dans une modulation multiporteuses
1.30. Fonction réalisée par un limiteur
1.31. Décomposition PTS d'un symbole OFDM
1.32. Répartition des symboles dans une décomposition PTS
2.1. Erreur quadratique de l'approximation
2.2. Erreur quadratique moyenne
2.3. Critère à minimiser pour l'approximation de fonction
2.4. Fonction à minimiser pour les moindres carrés
2.5. Recherche de l'extremum de la fonction de performance
2.6. Système d'équations à résoudre pour les moindres carrés
2.7. Fonctions de régression linéaire
2.8. Système d'équations à résoudre pour la régression linéaire
2.9. Approximation réalisée par la méthode Projection Pursuit
2.10. Fonction réalisée par la première couche d'un réseau GRBF
2.11. Fonction réalisée par la seconde couche d'un réseau GRBF
2.12. Sortie d'un réseau GRBF
2.13. Expression de la sortie de la première couche du réseau GRBF
2.14. Expression de la performance en fonction des sorties de la première couche
2.15. Expression de la sortie d'un neurone de perceptron
2.16. Expression de la sigmoïde standard
2.17. Définition vectorielle de la fonction d'activation d'une couche
2.18. Relation entrée/sortie d'une couche de perceptron
2.19. Erreur d'un perceptron à une couche
2.20. Performance du perceptron à une couche
2.21. Évolution des poids durant une étape de l'apprentissage d'un perceptron à une couche
2.22. Performance du perceptron multicouches
2.23. Évolution des poids durant une étape de l'apprentissage d'un perceptron multicouches
2.24. Erreur par couche dans un perceptron multicouches
2.25. Sortie d'un réseau HPU
2.26. Nombre de poids à calculer en entrée d'un réseau HPU
2.27. Sortie d'un réseau Pi-Sigma
2.28. Nombre de poids d'un réseau pi-sigma
2.29. Itération d'une descente de gradient pour un réseau pi-sigma
2.30. Sortie d'un réseau RPN
3.1. Modèle d'amplificateur non linéaire AM/PM et AM/AM
3.2. Modèle d'un amplificateur SSPA
3.3. Expression temporelle du symbole OFDM
3.4. Utilisation du modèle SSPA pour la non-linéarité
3.5. Développement en série entière de la fonction f du modèle SSPA
3.6. Expression du signal après l'amplificateur non linéaire
3.7. Décomposition du signal de sortie de l'amplificateur
3.8. Expression des deux premiers termes de la somme
3.9. Module du signal OFDM temporel
3.10. Calcul du second terme de la somme
3.11. Suite du calcul du second terme de la somme
3.12. Définition étendue de cj
3.13. Second terme de la somme regroupé par porteuse
3.14. Décomposition des symboles reçus
3.15. Deux premiers termes de la décomposition des symboles reçus
3.16. Symbole OFDM temporel avec les porteuses décalées
3.17. Égalité des modules des deux signaux
3.18. Décalage des porteuses en sortie de l'amplificateur non linéaire
3.19. Nombre de poids nécessaires dans un réseau RPN
3.20. Nombre de poids pour le réseau RPN dans le système sans décalage
3.21. Nombre de poids pour le réseau RPN dans le système avec décalage
3.22. Création d'un symbole OFDM avec un retard
3.23. Réception d'un symbole OFDM retardé
3.24. Expression fréquentielle de l'invariance par retard
3.25. Expression fréquentielle de l'invariance par rotation
4.1. Modèle SSPA inversé
4.2. Fonction réalisée par le HPU dans le correcteur simplifié
5.1. Critère d'évaluation de la précision d'estimation du canal
5.2. Nombre d'opérations d'une transformée de Fourier rapide
5.3. Nombre d'opérations d'une égalisation linéaire
5.4. Nombre d'opérations d'un neurone Sigma
5.5. Nombre d'opérations d'un réseau Pi-Sigma
5.6. Nombre d'opérations d'un réseau RPN à une sortie
5.7. Nombre d'opérations d'un réseau RPN à une sortie
5.8. Nombre d'opérations d'un réseau RPN complet
5.9. Nombre d'opérations d'un HPU
5.10. Nombre d'opérations d'un récepteur OFDM
5.11. Nombre d'opérations d'un correcteur RPN fréquentiel
5.12. Nombre d'opérations d'un correcteur RPN fréquentiel
5.13. Nombre d'opérations d'un correcteur RPN temporel
5.14. Nombre d'opérations d'un correcteur RPN temporel
5.15. Nombre d'opérations d'un correcteur HPU
5.16. Nombre d'opérations d'un correcteur HPU
5.17. Densité de probabilité du module du signal OFDM temporel
5.18. Expression du signal en sortie de l'amplificateur
5.19. Calcul de la puissance en sortie de l'amplificateur
5.20. Nombre d'opérations pour réaliser une itération de l'algorithme de post-distorsion OFDM
A.1. Calcul du gradient
A.2. Nouveau vecteur paramètre
A.3. Critère d'arrêt de la descente de gradient
A.4. Modèle quadratique de la fonction f
A.5. Recherche du minimum du modèle quadratique
A.6. Expression du minimum du modèle quadratique
A.7. Expression de f sous la forme d'une erreur quadratique moyenne
A.8. Expression du vecteur qui minimise l'approximation de f
A.9. Notations
A.10. Pas de Levenberg
A.11. Équivalence entre l'algorithme de Levenberg et la descente de gradient pour λ grand
A.12. Pas de Levenberg-Marquardt

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