Dans une modulation monoporteuse, l'ensemble des valeurs prises par le signal modulé est fixé par les constellations, et la distribution des valeurs prises suit généralement une loi uniforme.

Le signal OFDM temporel quand à lui est la somme de signaux modulés, où est le nombre de porteuses. D'après le théorème de la limite centrale, si , la distribution des valeurs prises par le signal OFDM temporel tend vers une variable aléatoire normale. En pratique, on peut constater par simulation que la distribution des valeurs prises par est proche d'une loi gaussienne à partir de 4 porteuses.

Si l'on compare un signal à distribution uniforme et un signal à distribution gaussienne de même puissance, on constate des différences. Le signal gaussien a une dynamique plus grande, et on peut remarquer la présence de 'pics' d'amplitude importante. Dans la figure 1.20 suivante, les deux signaux ont une variance de 1. Le signal du haut est un signal à répartition gaussienne, et le signal du bas est un signal à répartition uniforme :

On peut quantifier cette caractéristique avec une grandeur appelée facteur de crête. On définit tout d'abord le PMEPR (Peak-to-Mean Envelope Power Ratio), qui est le rapport entre la puissance maximale et la puissance moyenne d'un signal temporel. Si un signal non nul et de moyenne nulle est défini sur , son PMEPR sur cet intervalle est égal à :

Le facteur de crête (CF, pour Crest Factor) est défini lui par . Un facteur de crête élevé signifie que le signal possède une puissance maximale importante devant sa puissance moyenne, et donc que certaines valeurs prises par ce signal sont importantes par rapport aux valeurs moyennes. Autrement dit ceci signifie que des pics d'amplitude importante sont présents.

Dans le cas d'un signal à distribution uniforme centrée d'amplitude , la puissance maximale est égale à (car le signal prend des valeurs entre et ) et on peut calculer sa puissance moyenne, qui est égale à . Le PMEPR d'un signal uniforme est donc égal à . Pour un signal centré à distribution normale de variance , la puissance maximale est infinie (car il n'y a aucune limite sur les valeurs prises par le signal) et la puissance moyenne est égale à . Le PMEPR est donc infini.

Dans le cas d'un signal OFDM on montre [LOUE00] que le PMEPR est majoré par :

où est le nombre de porteuses et sont les symboles modulés sur chaque porteuse. On montre également que le PMEPR est exactement égal à dans le cas d'une modulation de phase (c'est-à-dire lorsque tous les symboles ont le même module). Plus on augmente , plus le PMEPR est élevé. Comme la modulation OFDM devient avantageuse lorsque ce nombre de porteuses est grand, dans la plupart des standards mettant en application l'OFDM le PMEPR du signal temporel sera élevé.

L'évaluation du facteur de crête est important pour le dimensionnement des composants non linéaires dans un système de communication. Un amplificateur est nécessaire afin de faire se propager le signa sur le canal. Si la transmission est réalisée sur un canal radio, on utilise un amplificateur de puissance afin que l'onde radio ait une puissance suffisante. Or les amplificateurs radio utilisés en pratique, à semi-conducteurs, ou SSPA (Solid-State Power Amplifier) ont une caractéristique non linéaire. La courbe ci-dessous représente la courbe de réponse d'un amplificateur SSPA typique :

Dans la courbe de réponse de l'amplificateur, la sortie est normalisée de telle manière que la puissance de saturation corresponde à 0 dB (amplitude 1), et l'entrée de telle manière que le gain dans la zone linéaire soit de 1.

Sur une certaine plage de valeurs de l'entrée, l'amplificateur a un comportement très proche d'un système linéaire, et le signal en sortie sera tout simplement proportionnel au signal d'entrée, selon un rapport appelé gain de l'amplificateur. Cette plage est appelée zone de fonctionnement linéaire de l'amplificateur, et est indiquée en gris sur la caractéristique ci-dessus. Pour une amplitude plus grande de l'entrée la réponse de l'amplificateur s'éloigne de celle d'un système linéaire, et la sortie tend vers une valeur limite, appelée saturation en sortie. On peut définir la taille de la zone linéaire en utilisant la notion de point de compression à 1 dB, qui est le point de la caractéristique qui s'éloigne d'1 dB de la loi linéaire :

Pour que le signal ne subisse aucune distorsion dans l'amplificateur, il est nécessaire que celui-ci reste dans la zone de fonctionnement linéaire, et donc que sa puissance maximale soit inférieure à celle correspondant au point de compression. Si le facteur de crête est élevé, il sera nécessaire de surdimensionner l'amplificateur, c'est à dire de le choisir de telle sorte que la puissance de compression soit largement supérieure à la puissance moyenne du signal, le rapport entre les deux puissances étant égal au PMEPR. Donc pour deux signaux de puissance moyenne égale, celui qui a le PMEPR le plus élevé demandera un amplificateur avec une puissance de saturation plus élevée. Mais plus on augmente la puissance de saturation de l'amplificateur, plus on augmente son coût et sa consommation énergétique. Ainsi lorsque le signal transmis possède un facteur de crête élevé il est souvent nécessaire de trouver un compromis entre puissance de l'amplificateur et distorsion, et donc des perturbations dûes à la non-linéarité vont apparaître.

On définit une autre grandeur qui représente l'influence de la non-linéarité de l'amplificateur sur un signal donné, appelée recul d'entrée, ou Input Back-Off (IBO) en anglais. Cette grandeur, généralement exprimée en dB, est le rapport entre la puissance de saturation ramenée à l'entrée^[4] de l'amplificateur et la puissance moyenne du signal. Plus le recul d'entrée est élevé, plus l'amplificateur est surdimensionné par rapport au signal à amplifier, et moins il y a de distorsions non linéaires.

Dans le cas d'une liaison filaire, l'amplificateur n'a pas une puissance aussi importante, mais l'amplitude du signal temporel est tout de même limitée par la dynamique du convertisseur numérique/analogique, et souvent la puissance du signal émis doit être limitée pour éviter un rayonnement trop important. Le modèle de composant non-linéaire choisi dans ce cas est un amplificateur linéaire à saturation, ou clipping en Anglais. Dans le reste de ce mémoire, un amplificateur ayant une telle caractéristique sera appelé limiteur.

Les dégradations véhiculées par les non linéarités peuvent être observées dans le domaine fréquentiel. Si l'on fournit à l'entrée d'un composant non linéaire un signal sinusoïdal de fréquence , le signal disponible en sortie n'est plus sinusoïdal, mais il reste périodique de période . D'après le théorème de Fourier, le signal de sortie peut donc être décomposé en une somme de sinusoïdes de fréquences . Sur le spectre du signal de sortie, on voit donc apparaître des raies supplémentaires, appelés harmoniques, qui ont des fréquences multiples de la fréquence d'origine .

Dans le cas d'un signal radio, sa largeur de bande est faible devant sa fréquence centrale . Donc les signaux harmoniques se situent en dehors de la bande utile du signal radio. Pour respecter les contraintes du canal radio il est nécessaire de filtrer les harmoniques après l'amplificateur, afin d'éviter de perturber les canaux radio aux fréquences , mais les harmoniques ne perturbent pas le signal dans la bande utile .

Le second effet fréquentiel des non-linéarités est l'intermodulation, qui apparaît lorsque plusieurs signaux à des fréquences différentes traversent un composant non linéaire. En effet si un signal composé de deux sinusoïdes aux fréquences et est fourni en entrée d'un composant non linéaire, le signal présent à la sortie comporte en plus des deux sinusoïdes d'autres signaux dont les fréquences sont des combinaisons linéaires de et . Pour un signal radio à bande étroite, on ne s'intéresse qu'aux signaux présents dans la bande utile, et donc aux signaux à des fréquences voisines de et . On appelle intermodulations d'ordre 3 les signaux présents au fréquences et , intermodulations d'ordre 5 ceux aux fréquences et , et ainsi de suite. Si on appelle l'espacement entre les deux signaux d'origine () on remarque que les intermodulations sont également espacées de .

Un signal OFDM temporel ayant un facteur de crête fluctuant, celui-ci peut subir des distorsions dues aux non-linéarités de l'amplificateur. Ces distorsions sont principalement des intermodulations. Les différentes porteuses sont régulièrement espacées (l'intervalle étant ) et donc la plupart des intermodulations dues à l'interférence de deux porteuses se trouveront à la fréquence d'une autre porteuse. Ainsi un symbole reçu par le récepteur OFDM n'est plus simplement de la forme , mais est une combinaison non linéaire de tous les symboles qui composent le symbole OFDM. Au premier abord on peut considérer que la distorsion non linéaire est un bruit supplémentaire ajouté au symbole transmis, et si l'amplitude de ce bruit est supérieure au seuil de décision du récepteur, des erreurs binaires supplémentaires sont présentes dans le flux binaire reçu.

La figure 1.27 représente l'évolution du taux d'erreur binaire en fonction du rapport signal/bruit en utilisant des amplificateurs avec différents reculs. Le système OFDM simulé utilise 16 porteuses, une modulation de type MAQ16, et un modèle d'amplificateur SSPA.

Le canal simulé est un canal gaussien, c'est à dire qu'on ajoute au signal transmis un bruit blanc additif gaussien (BBAG). Le rapport signal sur bruit, exprimé en dB et noté , est le rapport entre l'énergie consommée pour transmettre un bit et la densité spectrale de puissance du bruit gaussien. Pour des faibles rapports signal sur bruit, le bruit gaussien est la perturbation principale du signal et le taux d'erreur binaire ne dépend pas beaucoup du recul. Par contre quand est plus grand, le taux d'erreur binaire (TEB) chute quand le recul est assez élevé, mais stagne dans le cas contraire. A partir d'un certain recul on ne remarque plus de perturbation liées aux non linéarités. La courbe avec un recul de 12 dB est proche des résultats théoriques obtenus dans un cas linéaire.

De nombreuses études portent donc sur les non-linéarités en OFDM, aussi bien théoriques ([SHI96] pour le cas général, et [GROS93] pour celui de l'ADSL) que pratiques [MERC98].